Нестандартные задачи (По материалам газеты «Математика» №38, 39, 1996 года) (стр. 1 )
| Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 |
НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ
(По материалам газеты «Математика» №38, 39, 1996 года)
Сборник нестандартных задач по математике
Нестандартные задачи для шестиклассников
М. Потапова, М. Резникова, М. Чулков, г. Москва
, учитель математики МОУ СОШ №7
В сборнике представлены материалы по формированию умений учащихся решать нестандартные задачи. Умение решать нестандартные задачи, т. е. такие, алгоритм решения которых не известен заранее, – важный компонент школьного обучения. Как же научить школьников решать нестандартные задачи? Об одном из возможных вариантов такого обучения – постоянном конкурсе решения задач рассказывалось на страницах приложения «Математика» (№ 28-29, 38-40/96). Предлагаемый Вашему вниманию набор задач может быть использован и во внеклассной работе. Материал подготовлен по заявкам педагогов города Костромы.
Умение решать задачи – важнейшая (и легче всего контролируемая) составляющая математического развития учащихся. Речь идет не о типовых заданиях (упражнениях), а о задачах нестандартных, алгоритм решения которых заранее не известен (граница между этими видами задач условна, и то, что является нестандартным для шестиклассника, может быть привычным для ученика седьмого класса!. Предлагаемые ниже 150 задач (непосредственное продолжение нестандартных задач для пятиклассников) предназначены для проведения годового конкурса в 6-м классе. Эти задачи также могут быть использованы и во внеклассной работе.
Комментарий к задачам
Все задачи можно условно разделить на три группы:
1.Задачи на смекалку. Для решения таких задач, как правило, не требуется глубоких знаний, необходимы лишь сообразительность и желание преодолеть трудности, встречающиеся на пути к решению. Кроме всего прочего – это шанс заинтересовать учеников, которые не проявляют особого рвения к учению, и, в частности, к математике.
2.Задачи на закрепление материала. Время от времени, необходимо решать задачи, предназначенные исключительно для закрепления усвоенных идей. Заметим, что проверять степень усвоения нового материала желательно через некоторое время после его изучения.
3.Задачи на пропедевтику новых идей. Задачи этого типа подготавливают учеников к систематическому изучению программного материала, а содержащиеся в них идеи и факты получают в дальнейшем естественное и простое обобщение. Так, например, вычисление различных числовых сумм поможет ученикам понять вывод формулы суммы арифметической прогрессии, а идеи и факты, содержащиеся в некоторых текстовых задачах данного набора, готовят к изучению тем: Системы линейных уравнений», «Равномерное движение» и т. Д. Как показывает опыт, чем дольше изучается материал, тем легче его усвоить.
Отметим принципиально важные моменты:
1. Мы приводим «чисто арифметические» решения текстовых задач, где это представляется возможным, даже если школьники могут легко решать их с помощью уравнений. Это объясняется тем, что воспроизведение материала в словесной форме требует значительно больших логических усилий и поэтому наиболее эффективно развивает мышление учащихся. Умение излагать материал в словесной форме – важнейший показатель уровня математического мышления.
2. Изученный материал лучше усваивается, если в сознании учащихся он связан с другим материалом, поэтому, как правило, мы ссылаемся на уже решенные задачи (такие ссылки набраны курсивом).
3. Задачи полезно решать разными способами (положительная оценка ставится за любой способ решения). Поэтому для всех текстовых задач кроме арифметического рассматривается алгебраическое решение (уравнение). Учителю рекомендуется провести сравнительный анализ предложенных решений.
1.2.Если Аня идет в школу пешком, а обратно едет на автобусе, то всего на дорогу она затрачивает 1,5 ч. Если же она едет в оба конца на автобусе, то весь путь занимает у нее 30 мин. Сколько времени потратит Аня на дорогу, если и в школу, и из школы она будет идти пешком?
1.3.Картофель подешевел на 20%. На сколько процентов больше можно купить картофеля на ту же сумму?
1.4.В шестилитровом ведре содержится 4 л кваса, а в семилитровом – 6 л. Как разделить весь имеющийся квас пополам, используя эти ведра и пустую трехлитровую банку?
1.5.Можно ли ходом шахматного коня попасть из левого нижнего угла доски в правый верхний, побывав на каждом поле ровно один раз? Если можно, то укажите маршрут, если же нет, то объясните, почему.
▼ 2.1. Верно ли утверждение: если к отрицательному числу прибавить квадрат этого же числа, то всегда получится положительное число?
2.2. Я иду от дома до школы 30 мин, а мой брат – 40 мин. Через сколько минут я догоню брата, если он вышел из дома на 5 мин раньше меня?
2.3. Ученик написал на доске пример на умножение двузначных чисел. Затем он стер все цифры и заменил их буквами. Получилось равенство: . Докажите, что ученик ошибся.
2.4. Кувшин уравновешивает графин и стакан, два кувшина весят столько же, сколько три чашки, а стакан и чашка уравновешивают графин. Сколько стаканов уравновешивают графин?
▼ 3.1. Пассажир, проехав половину всего пути, лег спать и спал до тех пор, пока не осталось ехать половину того пути, что он проехал спящим. Какую часть пути он проехал спящим?
3.4.Школьник прочитал книгу за 3 дня. В первый день он прочитал 0,2 всей книги и еще 16 страниц, во второй день – 0,3 остатка и еще 20 страниц, а в третий день – 0,75 нового остатка и последние 30 страниц. Сколько страниц в книге?
3.5.Окрашенный куб с ребром 10 см распилили на кубики с ребром, равным 1 см. Сколько среди них окажется кубиков с одной окрашенной гранью? С двумя окрашенными гранями?
▼ 4.1. Из чисел 21, 19, 30, 25, 3, 12, 9, 15, 6, 27 выбрать три такие числа, сумма которых равна 50.
4.2. Машина едет со скоростью 60 км/ч. На сколько надо увеличить скорость, чтобы километр пути проезжать на одну минуту быстрее?
4.3. К доске для игры в крестики-нолики добавлена одна клетка (см. рисунок). Как нужно играть первому игроку, чтобы наверняка обеспечить себе выигрыш?
4.4. В шахматном турнире участвовало 7 человек. Каждый шахматист сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий было сыграно?
4.5. Можно ли разрезать шахматную доску на прямоугольники размером 3×1?
▼5.1. За книгу заплатили 5000 р. И осталось заплатить столько, сколько осталось бы заплатить, если бы за нее заплатили столько, сколько осталось заплатить. Сколько стоит книга?
5.2.Племянник спросил дядю, сколько тому лет. Дядя ответил: «Если к половине моих лет прибавить 7, то узнаешь мой возраст 13 лет назад». Сколько лет дяде?
5.3.Если между цифрами некоторого двузначного числа вписать 0, то полученное трехзначное число в 9 раз больше первоначального. Найдите это двузначное число.
5.4.Найдите сумму чисел 1 + 2 + … + 870 + 871.
5.5.Имеется 6 палочек, каждая длиной по 1 см, 3 палочки – по 2 см, 6 палочек – по 3 см, 5 палочек – по 4 см. Можно ли из этого набора составить квадрат, используя при этом все палочки, не ломая их и не накладывая одна на другую?
▼ 6.1. Множимое увеличили на 10%, а множитель уменьшили на 10%. Как при этом изменилось произведение?
6.2. Три бегуна А, Б и В соревновались в беге на 100 м. Когда А добежал до конца дистанции, Б отставал от него на 10 м, Когда Б добежал до финиша, В отставал от него на 10 м. На сколько метров отставал В от А, когда А финишировал?
6.3. Количество отсутствующих учеников в классе составляет числа присутствующих. После того, как из класса вышел один ученик, число отсутствующих стало равно числа присутствующих. Сколько учеников в классе?
6.4. Арбуз уравновешивает дыню и свеклу. Дыня уравновешивает капусту и свеклу. Два арбуза весят столько же, сколько три кочана капусты. Во сколько раз дыня тяжелее свеклы?
6.5. Можно ли прямоугольник размером 4×8 разрезать на 9 квадратов?
▼ 7.1. Цену товара уменьшили на 10%, а затем еще раз на 10%. Станет ли товар дешевле, если его цену сразу снизить на 20%?
7.2. Гребец, плывя по реке, потерял под мостом шляпу. Через 15 мин он заметил пропажу, вернулся и поймал шляпу в 1 км от моста. Какова скорость течения реки?
7.3.Известно, что одна из монет фальшивая и она легче остальных. За сколько взвешиваний на чашечных весах без гирь можно определить, какая именно монета фальшивая?
7.5.Имеется 19 телефонов. Можно ли соединить их попарно так, чтобы каждый был соединен ровно с тринадцатью из них?
▼ 8.1. В соревнованиях по олимпийской системе (проигравший выбывает) участвует 47 боксеров. Сколько боев надо провести, чтобы определить победителя?
8.2. В саду растут яблони и вишни. Если взять всех вишен и всех яблонь, то и тех, и других деревьев останется поровну, а всего в саду 360 деревьев. Сколько яблонь и вишен было в саду?
8.3.Коля, Боря, Вова и Юра заняли в соревновании первые четыре места, причем никакие два мальчика не делили между собой какие-нибудь места. На вопрос, кто какое место завял, Коля ответил: «Ни первое, ни четвертое».Боря сказал: «Второе», а Вова заметил, что он не был последним. Какое место занял каждый из мальчиков, если все они сказали правду?
8.4. Делится ли числона 9?
8.5. Разрежьте прямоугольник, длина которого равна 9 см, а ширина 4 см, на две равные части так, чтобы из них было можно сложить квадрат.
снизилась до 98%. Какой стала масса грибов после подсушивания?
9.2.Можно ли из чисел 1, 2, 3, …, 11, 12 составить таблицу из 3 строк и 4 столбцов такую, чтобы сумма чисел в каждом из столбцов была одной и той же?
9.3.Какой цифрой оканчивается сумма135x + 31y + 56x+y, если x и y – натуральные числа?
9.4.Пятеро мальчиков Андрей, Боря, Володя, Гена и Дима имеют разный возраст: одному 1 год, другому 2 года, остальным 3, 4 и 5 лет. Володя – самый маленький, Диме столько лет, сколько Андрею и Гене вместе. Сколько лет Боре? Чей еще возраст можно определить?
9.5.У шахматной доски отпилены два поля: левое нижнее и правое верхнее. Можно ли покрыть такую шахматную доску «костями» домино размером 2×1?
▼ 10.1. Можно ли из чисел 1,2,3,…. 11,12 составить таблицу из 3 строк и 4 столбцов такую, чтобы сумма чисел в каждой из трех строк была одной и той же?
10.2. Директор завода обычно приезжает поездом в город в 8 ч. Точно к этому времени подъезжает автомобиль и отвозит его на завод. Однажды директор приехал на вокзал в 7 ч и пошел на завод пешком. Встретив машину, он сел в нее и приехал на завод на 20 мин раньше обычного. Какое время показывали часы в момент встречи директора с машиной?
10.3. В двух мешках 140 кг муки. Если из первого мешка переложить во второй 1/8 часть муки, находящейся в первом мешке, то в обоих мешках муки будет поровну. Сколько муки было первоначально в каждом мешке?
10.4.В одном месяце три среды пришлись на четные числа. Какого числа в этом месяце будет второе воскресенье?
10.5.После 7 стирок длина, ширина и толщина куска мыла уменьшились вдвое. На сколько таких же стирок хватит оставшегося мыла?
▼ 11.1. Продолжите ряд чисел: 10, 8, 11, 9, 12, 10 до восьмого числа. По какому правилу он составлен?
11.2.Из дома в школу Юра вышел на 5 мин позже Лены, но шел в два раза быстрее, чем она. Через сколько минут после выхода Юра догонит Лену?
11.3.На какую цифру оканчивается число 2100?
11.4. Ученики двух шестых классов купили 737 учебников, причем каждый купил одинаковое количество учебников. Сколько было шестиклассников, и сколько каждый из них купил учебников?
11.5. Найдите площадь изображенного на рисунке треугольника (площадь каждой клетки 1 кв. см).
▼ 12.1. Влажность свежескошенной травы 60%, а сена 15%. Сколько сена получится из одной тонны свежескошенной травы?
12.2. Пять учеников купила 100 тетрадей. Коля и Вася купили 52 тетради, Вася и Юра – 43, Юра и Саша – 34, Саша и Сережа – 30. Сколько тетрадей купил каждый из них?
12.3. Сколько шахматистов играло в круговом турнире, если всего было сыграно 190 партий?
12.4.На какую цифру заканчивается число З100?
12.5.Известно, что длины сторон треугольника – целые числа, причем одна сторона равна 5, а другая 1. Чему равна длина третьей стороны?
▼ 13.1. Билет стоилруб. После снижения платы за проезд число пассажиров увеличилось на 50%, а выручка при этом выросла на 25%. Сколько стал стоить билет после снижения?
13.2.От Нижнего Новгорода до Астрахани теплоход идет 5 суток, а обратно – 7 суток. Сколько времени будут плыть плоты от Нижнего Новгорода до Астрахани?
13.3.Юра взял книгу на 3 дня. В первый день он прочитал половину книги, во второй – треть оставшихся страниц, а количество страниц, прочитанных в третий день, равно половине страниц, прочитанных за первые два дня. Успел ли Юра прочитать книгу за 3 дня?
13.4.Алеша, Боря и Витя учатся в одном классе. Один из них ездит домой из школы на автобусе, другой – на трамвае, третий – на троллейбусе. Однажды после уроков Алеша пошел проводить друга до остановки автобуса. Когда мимо них проходил троллейбус, третий друг крикнул из окна: «Боря, ты забыл в школе тетрадь!» На каком виде транспорта каждый ездит домой?
13.5. Мне сейчас вдвое больше лет, чем вам было тогда, когда мне было столько лет, сколько вам сейчас. Сейчас нам вместе 35 лет. Сколько лет каждому из вас?
▼ 14.1. Дано 2001 число. Известно, что сумма любых четырех из них положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?
14.2. Когда велосипедист проехал пути, лопнула шина. Оставшийся путь он прошел пешком и затратил на это в 2 раза больше времени, чем на езду на велосипеде. Во сколько раз велосипедист ехал быстрее, чем шел?
14.3. Имеются двух чашечные весы и гири массой 1, 3, 9, 27 и 81 г. На одну чашку весов кладут груз, гири разрешается класть на обе чашки. Докажите что весы можно уравновесить, если масса груза равна: а) 13 г; б) 19 г; в) 23 г; г) 31 г.
14.4. Ученик написал на доске пример на умножение двузначных чисел. Затем он стер все цифры и заменил их буквами: одинаковые цифры – одинаковыми буквами, а разные – разными. Получилось равенство: . Докажите, что ученик ошибся.
14.5. Среди музыкантов каждый седьмой – шахматист, а среди шахматистов каждый девятый – музыкант. Кого больше: музыкантов или шахматистов? Почему?
▼ 15.1. Длину прямоугольного участка увеличили на 35%, а ширину уменьшили на 14%. На сколько процентов изменилась площадь участка?
15.2.Вычислили сумму цифр числа 109! Затем вычислили сумму цифр вновь полученного числа и так продолжали до тех пор, пока не было получено однозначное число. Что это за число?
15.3.Три пятницы некоторого месяца пришлись на четные даты. Какой день недели был 18 числа этого месяца?
15.4.Разбирается дело Браун, Джонса и Смита. Один из них совершил преступление. В процессе расследования каждый из них сделал по два заявления:
Браун: 1. Я не преступник. 2. Джонс тоже.
Джонс: 1, Это не Браун. 2. Это Смит.
Сжит: 1. Преступник Браун. 2. Это не я.
Было установлено, что один из них дважды солгал, другой дважды сказал правду, а третий один раз солгал и один раз сказал правду. Кто совершил преступление?
15.5. На часах 19 ч 15 мин. Чему равен угол между минутной и часовой стрелками?
▼ 16.1. Если человек, стоящий в очереди перед Вами, был выше человека, стоящего после того человека, который стоял перед вами, то был ли человек, стоящий перед Вами, Выше вас?
16.2.В классе учатся менее 50 школьников. За контрольную работу седьмая часть учеников получила оценку «5», третья часть – «4», а половина – «3». Остальные получили «2». Сколько было таких работ?
16.3.Два велосипедиста выехали одновременно из пунктов А и В навстречу друг другу и встретились в 70 км от А. Продолжая двигаться с теми же скоростями, они достигли конечных пунктов и, отдохнув равное время, вернулись назад. Вторая встреча произошла в 90 км от В. Найдите расстояние от А до В.
16.4.Делится ли число 111…111 (999 единиц) на 37?
16.5.Разделите прямоугольник размером 18×8 на части так, чтобы из этих частей можно было сложить квадрат.
▼ 17.1. Когда Ваню спросили, сколько ему лет, он подумал и сказал: «Я втрое моложе папы, но зато втрое старше Сережи». Тут подбежал маленький Сережа и сообщил, что папа старше его на 40 лет. Сколько лет Ване?
17.2.На три склада доставлен груз. На первый и второй склады было доставлено 400 т, на второй и третий вместе 300 т, а на первый и третий – 440 т. Сколько тонн груза было доставлено на каждый склад в отдельности?
17.3.От потолка комнаты вертикально вниз по стене поползли две мухи. Спустившись до пола, они поползли обратно. Первая муха ползла в оба конца с одной и той же скоростью, а вторая, хотя и поднималась в два раза медленней первой, но зато спускалась вдвое быстрее. Какая из мух раньше приползет обратно?
17.4.В магазин привезли 25 ящиков яблок трех сортов, причем в каждом из ящиков лежали яблоки какого-то одного сорта. Можно ли найти 9 ящиков с яблоками одного сорта?
17.5.Найдите два простых числа, сумма и разность которых также является простым числом.
▼ 18.1. Задумано трехзначное число, у которого с любым из чисел 543, 142 и 562 совпадает один из разрядов, а два других не совпадают. Какое число задумано?
18.2.На балу каждый кавалер танцевал с тремя дамами, а каждая дама – с тремя кавалерами. Докажите, что на балу число дам было равно числу кавалеров.
18.3.В школе, 33 класса, 1150 учеников. Найдется ли в этой школе класс, в котором не менее 35 учеников?
18.4.В одном районе города более 94% домов имеют больше 5 этажей. Какое наименьшее число домов возможно в данном районе?
18.5. Найдите все треугольники, длины сторон которых целые числа сантиметров и длина каждой из них не превышает 2 см.
▼ 19.1. Докажите, что если сумма двух натуральных чисел меньше 13, то их произведение не больше 36.
19.2.Из 75 одинаковых по виду колец одно по весу отличается от других. Как за два взвешивания на чашечных весах определить, легче или тяжелее это кольцо, чем остальные?
19.3.Самолет летел из А в В сначала со скоростью 180 км/ч, но когда ему осталось лететь на 320 км меньше, чем он уже пролетел, он увеличил скорость до 250 км/ч. Оказалось, что средняя скорость самолета на всем пути 200 км/ч. Определите расстояние от А до В.
19.4.Милиционер обернулся на звук бьющегося стекла и увидел четырех подростков, убегающих от разбитой витрины. Через 5 мин они были в отделении милиции. Андрей заявил, что стекло разбил Виктор, Виктор же утверждал, что виноват Сергей. Сергей заверял, что Виктор лжет, а Юрий твердил, что это сделал не он. Из дальнейшего разговора выяснилось, что лишь один из ребят говорил правду. Кто разбил стекло?
20.2.Докажите, что число 7777 + 1 не делится на 5.
20.3.В семье четверо детей, им 5, 8, 13 и 15 лет. Детей зовут Аня, Боря, Вера и Галя. Сколько лет каждому ребенку, если одна из девочек ходит в детский сад, Аня старше Бори и сумма лет Ани и Веры делится на 3?
20.4.В темной комнате 10 арбузов и 8 дынь (дыни и арбузы не различимы на ощупь). Сколько нужно взять фруктов, чтобы среди них было не менее двух арбузов?
20.5.Пришкольный участок прямоугольной формы имеет периметр 160 м. Как изменится его площадь, если длину каждой стороны увеличить на 10 м?
▼ 21.1. Найти сумму 1 + 5 + … + 97 + 101.
21.2.Вчера число учеников, присутствующих в классе, было в 8 раз больше отсутствующих. Сегодня не пришло еще 2 ученика и оказалось, что отсутствуют 20% от числа учеников, присутствующих в классе. Сколько всего учеников в классе?
21.3.Что больше 3200 или 2300?
21.4.Сколько диагоналей у тридцатичетырехугольника?
21.5.Посередине участка квадратной формы устроена цветочная клумба, которая также имеет форму квадрата. Площадь участка равна 100 м2. Сторона клумбы в два раза меньше стороны участка. Чему равна площадь клумбы?
▼ 22.1. Сократите дробь
22.2.Кусок проволоки длиной 102 см нужно разрезать на части длиной 15 и 12 см так, чтобы не было обрезков. Как это сделать? Сколько решений имеет задача?
22.3.В коробке лежат 7 красных и 5 синих карандашей. Из коробки в темноте берут карандаши. Сколько надо взять карандашей, чтобы среди них было не менее двух красных и трех синих?
22.4.В одном сосуде 2а литров воды, а другой пустой. Из 1-го сосуда переливают половину воды во 2-й,
затем из 2-го переливают воды в 1-й, затем из 1-го переливают воды во 2-й и т. Д. Сколько литров воды будет в первом сосуде после 1995 переливания?
8. Из числа …5960 вычеркнуть сто цифр так, чтобы полученное число было наибольшим.
▼ 23.1. Сначала отпили чашки черного кофе и долили ее молоком. Затем выпили чашки и снова долили ее молоком. Потом выпили еще полчашки и опять долили ее молоком. Наконец, выпили всю чашку. Чего выпили больше: кофе или молока?
23.2.К трехзначному числу слева приписали 3 и оно увеличилось в 9 раз. Что это за число?
23.3.Из пункта А в пункт В ползут два жука и возвращаются обратно. Первый жук полз в обе стороны с одинаковой скоростью. Второй полз в В в 1,5 раза быстрее, а обратно в 1,5 раза медленнее, чем первый. Какой жук вернулся в А раньше?
23.5.Площадь квадрата равна 16 м2. Чему будет равна площадь квадрата, если:
а) сторону квадрата увеличить, в 2 раза?
Б) сторону квадрата увеличить в 3 раза?
В) сторону квадрата увеличить на 2 дм?
▼ 24.1. На какое число нужно умножить, чтобы получить число, которое записывается с помощью одних пятерок?
24.2.Верно ли, что число 1 является квадратом некоторого натурального числа?
24.3.Автомобиль из А в В ехал со средней скоростью 50 км/ч, а обратно возвращался со скоростью 30 км/ч. Какова его средняя скорость?
24.4.Докажите, что любую сумму из целого числа рублей, большую семи, можно уплатить без сдачи денежными купюрами в 3 и 5 руб.?
24.5.На завод привезли бревна двух видов: длиной 6 и 7 м. Их нужно распилить на метровые чурбаки. Какие бревна выгоднее пилить?
▼ 25.1. Сумма нескольких чисел равна 1. Может ли сумма их квадратов быть меньше 0,01?
25.2.Имеется 10 мешков монет. В девяти мешках монеты настоящие (весят по 10 г), а в одном – фальшивые (весят по 11 г). Одним взвешиванием на электронных весах определить, в каком мешке фальшивые монеты.
25.3.Докажите, что сумма любых четырех последовательных натуральных чисел не делится на 4.
25.3.Из числа …5960 вычеркните сто цифр так, чтобы полученное число было наименьшим.
25.4.Купили несколько одинаковых книг и одинаковых альбомов. За книги заплатили 10 руб. 56 коп. Сколько купили книг, если цена одной книги более чем на рубль превышает цену альбома, а книг купили на 6 больше, чем альбомов.
▼ 26.1. Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на их часть, а две другие уменьшили на часть. Как изменилась площадь прямоугольника?
26.2.Десять команд участвуют в турнире по футболу. Доказать, что при любом расписании игр всегда найдутся две команды, сыгравшие одинаковое количество матчей.
26.3.Самолет летит по прямой из города А в В, а затем обратно. Его собственная скорость постоянна. Когда самолет пролетит весь путь быстрее: при отсутствии ветра или при ветре, постоянно дующем в на правлении из А в В?
26.4.Числа 100 и 90 разделили на одно я то же число. В первом случае получили в остатке 4, а во втором – 18. На какое число выполнялось деление?
26.5.Шесть прозрачных колб с водой расставлены в два параллельных ряда по 3 колбы в каждом. На рис. 1 видны три передние колбы, а на рис. 2 – две правые боковые. Через прозрачные стенки колб видны уровни воды в каждой видимой колбе и во всех колбах, стоящих за ними. Определите, в каком порядке стоят колбы и какой уровень воды в каждой из них.
▼ 27.1. Бригада косцов в первый день скосила половину луга и еще 2 га, а во второй – 25% оставшейся части и последние 6 га. Найдите площадь луга.
27.2. Имеется 11 мешков монет. В десяти мешках монеты настоящие (весят по 10 г), а в одном – фальшивые (весят по 11 г). Одним взвешиванием определить, в каком мешке фальшивые монеты.
27.3.В ящике лежат 10 красных, 8 синих и 4 желтых карандаша. Из ящика в темноте берут карандаши. Какое наименьшее число карандашей надо взять, чтобы среди них заведомо было: а) не менее 4 карандашей одного цвета? Б) не менее 6 карандашей одного цвета? В) хотя бы 1 карандаш каждого цвета?
Г) не менее 6 синих карандашей?
27.4.Вася сказал, что знает решение уравнения ху8 + х8у = 1995 в натуральных числах. Докажите, что Вася ошибся.
27.5. Нарисуйте такой многоугольник и точку внутри него, чтобы ни одна сторона многоугольника не была видна из этой точки полностью (на рис. 3 из точки О не полностью видна сторона АВ).
▼ 28.1. Гриша с папой пошли в тир. Уговор был такой: Гриша делает 5 выстрелов и за каждое попадание в цель получает право сделать еще 2 выстрела. Всего Гриша сделал 17 выстрелов. Сколько раз он попал в цель?
28.2.Лист бумаги разрезали на 4 части, затем некоторые (быть может, все) из этих частей тоже разрезали на 4 части и т. Д. Могло ли в результате получиться ровно 50 кусочков бумаги?
28.3.Первую половину пути всадник скакал со скоростью 20 км/ч, а вторую – со скоростью 12 км/ч. Найти среднюю скорость всадника.
28.4.Имеется 4 арбуза различной массы. Как, используя чашечные весы без гирь, не более чем за пять взвешиваний расположить их по возрастанию массы?
28.5.Доказать, что нельзя провести прямую так, чтобы она пересекла все стороны 1001-угольника (не проходя при этом через его вершины).
29.2. В одной бутылке белое вино, а в другой – красное. Капнем одну каплю красного вина в белое, а затем из полученной смеси вернем одну каплю в красное вино. Чего больше – белого вина в красном или красного вина в белом?
29.4.Что больше 3111 или 1714?
29.5.а) Сумма сторон квадрата равна 40 дм. Чему равна площадь квадрата?
б) Площадь квадрата 64. Чему равен его периметр?
▼ 30.1. Можно ли число 203 представать в виде суммы нескольких слагаемых, произведение которых также равно 203?
30.2. Сто городов соединено авиалиниями. Доказать, что среди них имеется два города, через которые проходит одинаковое количество авиалиний.
30.3.Из четырех внешне одинаковых деталей одна отличается по массе от трех остальных, однако неизвестно, больше ее масса или меньше. Как выявить эту деталь двумя взвешиваниями на чашечных весах без гирь?
30.4.На какую цифру оканчивается число
30.5. Проведите 3 прямые так, чтобы тетрадный лист разделился на наибольшее число частей. Сколько получится частей? Проведите 4 прямые с тем же условием. Сколько теперь получилось частей?
► 1.1. Проверкой убеждаемся: если числоумножить на 9,то в результате получится Вопрос учащимся: почему «проверять» следует только число 9?)
1.2.Если Аня едет в оба конца на автобусе, то весь путь занимает у нее 30 мин, следовательно, в один конец на автобусе она добирается за 15 мин. Если Аня идет в школу пешком, а обратно – на автобусе, то всего на дорогу она затрачивает 1,5 часа, значит, в один конец пешком она добирается за 1 ч 15 мин. Если же Аня и в школу, и из школы идет пешком, то на дорогу она тратит 2 ч 30 мин.